5/10/14

Pionero de la Economía Matemática

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"Se considera a Cournot como el matemático que comenzó la sistematización formal de la economía. Fue el primero en utilizar funciones matemáticas para describir conceptos económicos como la demanda, la oferta o el precio. Analizó los mercados monopolistas, estableciendo el punto de equilibrio del monopolio, llamado el punto de Cournot. También estudió el duopolio y el oligopolio.

Sus aportaciones tuvieron mucha influencia sobre Jevons, Walras y Marshall, de los que puede ser considerado un precursor. Contribuyó notablemente a la ciencia estadística."
Referencia:

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24/9/12

Sobre la medición en Economía


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Sobre la medición en Economía.

La medición en Economía, como en toda ciencia y para toda realidad, es central. El punto es que todo, absolutamente todo, para ser caracterizado de la manera más completa, más integral posible, necesita además de ser calificado, ser cuantificado. Se califica con palabras que tipifican las propiedades de las cosas y se cuantifica con números que precisan sus mediciones.
 
La Economía es la Ciencia de la Producción esencialmente. También es la Ciencia de la Apropiación de la Riqueza Social, pero la apropiación es una función derivada de la producción. Una cosa es la tierra, el trabajo y el capital, factores de la producción en la terminología de Smith y siempre con Smith, otra cosa son la renta, los salarios y las ganancias. Así como se entra en el proceso productivo, dice Marx, así se sale remunerado.
 
La Economía ha desarrollado teorías y sistemas de medición de la producción y la apropiación de la riqueza social. Y tan importante ha sido esta dimensión que se han configurado disciplinas de la Ciencia denominadas Economía Matemática, Econometría, Economía Administrativa, Contabilidad Social o Contabilidad Nacional. Y más de algún economista como Jevons pudo llegar a considerar que la Economía es una rama de la Matemática, "simplemente porque trata con números".
 
La verdad es que los grandes economistas han sido fundamentalmente filósofos y no matemáticos. La Matemática es principalmente un instrumento de las Ciencias, de todas y no las Ciencias un instrumento de las Matemáticas. Naturalmente que la Matemática tiene su propìa independencia, su propio objeto de estudio. Es una Ciencia en Sí, pero el Para Sí de esta ciencia no implica que las otras ciencias se subordinen a ella. Es la matemática que surge y se desarrolla supeditada a las otras ciencias. La humanidad ya no cree que todo puede reducirse a triangulos como los antiguos griegos en el umbral de la ciencia y menos que las leyes de la Matemática sean las mismas que las Leyes de la Economía, la Política o la Sociología.
 
Evaristo Hernández
Septiembre 2012
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12/7/12

Base matemática de Pitágoras

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Las negrillas, sangrías, separación y supresión de párrafos son nuestros para efectos de estudio.

Tomado de:
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La ciencia matemática practicada por Pitágoras y los matematikoi difiere del tratamiento de esta ciencia que se lleva a cabo en universidades o instituciones modernas.

Los pitagóricos no estaban interesados en «formular o resolver problemas matemáticos», ni existían para ellos problemas abiertos en el sentido tradicional del término.
El interés de Pitágoras era el de «los principios» de la matemática, «el concepto de número», «el concepto de triángulo» (u otras figuras geométricas) y la idea abstracta de «prueba».
Como señala Brumbaugh, "Es difícil para nosotros hoy en día, acostumbrados como estamos a la abstracción pura de las matemáticas y el acto mental de la generalización, el apreciar la originalidad de la contribución pitagórica."

Pitágoras reconocía en los números propiedades tales como «personalidad», «masculinos y femeninos», «perfectos o imperfectos», «bellos y feos». El número diez era especialmente valorado, por ser la suma de los primeros cuatro enteros [1 + 2 + 3 + 4 = 10], los cuales se pueden disponer en forma de triángulo perfecto: la tetraktys. Para los pitagóricos, «las cosas son números» y observaban esta relación en el cosmos, la astronomía o la música.
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27/5/11

Para Una Historia del Concepto de Función

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Las negrillas, algunas sangrías, conexión de algunos párrafos y el comentario inicial son nuestros para efectos de estudio.

El concepto de función nos parece sustancial en el desarrollo de la Matemática. Es un paso central en la conexión de lo ideal con lo real. La relación de cantidades, idealmente expresadas con vinculaciones hacia cosas concretas, realmente existentes.

Tal como lo expresa este artículo, en los términos de Poincaré, la formulación "estrambótica" cede paso a la formulación aplicada del concepto. Así lo inició Euler, a mediados del siglo XVIII, formalizando cuantitativamente el análisis funcional, iniciado instintivamente por los Babilonios. A nuestro juicio, la matemática, se puede cortar en dos momentos, antes y despues de la formulación del concepto de función.


Tomado de:


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Historia del concepto de función
Por :Covadonga Escandón Martínez

Si tratáramos hoy de contestar a la difícil pregunta '¿qué son las matemáticas?' muchas veces respondemos algo como 'El estudio de las relaciones entre conjuntos' o 'El estudio de las dependencias entre cantidades variables'.
Si estas afirmaciones son cercanas a la verdad entonces sería lógico sugerir que el concepto de función debe haber aparecido desde las primeras etapas del desarrollo de las matemáticas.
Ciertamente, si vemos las matemáticas babilónicas encontramos tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales. Estas tablas sin duda definen funciones de N sobre N o de N sobre R. E. T. Bell escribió en 1945:
Puede no ser demasiado generoso dar crédito a los antiguos babilonios de tener el instinto de función; ya que una función ha sido definida sucesivamente como una tabla o como una correspondencia. Sin embargo esto seguramente viene de ver a los antiguos matemáticos a través de ojos modernos.
Por lo tanto tenemos que rechazar la sugerencia de que el concepto de función estuviera presente en las matemáticas babilónicas aunque podamos ver que estudiaban funciones específicas.
Si avanzamos hasta las matemáticas griegas entonces llegamos al trabajo de Ptolomeo. Él computó cuerdas de un círculo lo que esencialmente quiere decir que computó funciones trigonométricas. Seguramente, uno podría pensar, que si estaba calculando funciones trigonométricas entonces Ptolomeo debe haber comprendido el concepto de función. Como escribió O Petersen en 1974 [22]: Pero si concebimos una función no como una fórmula sino como una relación más general que asocia elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto, es obvio que las funciones en ese sentido abundan en el Almagesto. Sin duda Petersen está en lo correcto al afirmar que hay funciones, en el sentido moderno, por todo el Almagesto.
Ptolomeo lidió con las funciones pero es poco probable que comprendiera el concepto de función.
Como escribe Thiele en la primera página de [2]: De vez en cuando, comparaciones anacrónicas como la que se acaba de dar nos ayudan a elucidar hechos documentados pero no a interpretar su historia.

Habiendo sugerido que el concepto de función estaba ausente en estas antiguas obras matemáticas, permítanos sugerir, como lo hace Youschkevitch en [32], que Oresme se estaba acercando en 1350 cuando describió las leyes de la naturaleza como leyes que dan una dependencia entre una cantidad y otra.
Youschkevich escribe [32]: La noción de una función aparece por primera vez en una forma más general durante el siglo XIV en las escuelas de filosofía natural de Oxford y París.
Galileo estaba empezando a entender el concepto aún con mayor claridad.
Sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. De nuevo otra parte de sus matemáticas muestra que estaba empezando a captar el concepto de mapeo entre conjuntos. En 1638 estudió el problema de dos círculos concéntricos con centro O, el círculo mas grande A con diámetro del doble que el círculo más pequeño B. Pero al tomar cualquier punto P sobre el círculo A entonces PA corta al círculo B en un punto. Así Galileo había construido una función que mapeaba cada punto de A sobre un punto de B. De modo similar, si Q es un punto sobre B entonces el segmento OQ resultante corta al círculo A en exactamente un punto. De nuevo tiene una función, esta vez de los puntos en B hacia los puntos en A. Aunque la circunferencia de A sea el doble de la circunferencia de B, ambas tienen el mismo número de puntos. También produjo la correspondencia uno-a-uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados, la cual (en términos modernos) daba una bisección entre N y un subconjunto propio.
Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Descartes introducía el álgebra a la geometría en La Géometrie (La geometría).
Afirma que una curva puede dibujarse al permitir que un línea tome sucesivamente un número infinito de valores distintos. Esto de nuevo lleva el concepto de función a la construcción de una curva ya que Descartes está pensando en términos de la magnitud de una expresión algebraica que toma infinitos valores como en que la magnitud a partir de la cual se compone la expresión, toma un infinito número de valores

Detengámonos por un momento antes de llegar a la primera vez que se usó la palabra 'función'. Es importante entender que el concepto se desarrolló con el paso del tiempo; su significado fue cambiando y también fue siendo definido con mayor precisión a través de los años. Ya hemos sugerido que una tabla de valores, aunque defina una función, no es pensada necesariamente por su creador como una función. Los primeros empleos de la palabra 'función' sí encapsulaban ideas del concepto moderno pero de manera mucho más restrictiva.

Como tantos términos matemáticos, la palabra función fue usada por primera vez con su significado no-matemático.
Leibniz escribió en agosto de 1673 de:
[...] otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo alguna función.
Johann Bernoulli, en una carta a Leibniz escrita el 2 de septiembre de 1694, describe una función como: [...] una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes.

En un artículo de 1698 sobre problemas isoperimétricos, Johann Bernoulli escribe sobre 'funciones de ordenadas' (ver [32]). Leibniz le escribió a Bernoulli diciendo:
[...] Me agrada que use el termino función en el mismo sentido que yo.
Era un concepto cuya introducción sucedió en el momento ideal en lo que respecta a Johann Bernoulli ya que estaba estudiando problemas de cálculo de variaciones en cuyas soluciones aparecen funciones. Ver [28] para mayor información sobre cómo el autor considera que el cálculo de variaciones es la teoría matemática que se desarrolló más en conexión con el concepto de función.
Se puede decir que en 1748 el concepto de función saltó a la fama en matemáticas. Esto se debió a Euler quien publicó Introductio in analysin infinitorum en el año en que hace central el concepto de función en su presentación del análisis. Euler definió una función en el libro como sigue: Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes.
Todo esto está muy bien pero Euler no da una definición de 'expresión analítica' sino que supone que el lector entenderá que significa expresiones formadas por las operaciones comunes de suma, multiplicación, potencias, raíces, etc.
Divide sus funciones en distintos tipos tales como algebraicas y trascendentes.
El tipo depende de la naturaleza de la expresión analítica; por ejemplo, las funciones trascendentes son las no-algebraicas como: [...] exponeciales, logaritmos y otras de las que el cálculo integral nos provee en abundancia.

Euler permitió que las operaciones algebraicas de sus expresiones analíticas aparecieran un número infinito de veces, dando como resultado series infinitas, productos infinitos y fracciones continuas infinitas. Más adelante sugiere que una función trascendente debe ser estudiada expandiéndola en una serie de potencias. No afirma que todas las funciones trascendentes puedan ser expandidas de este modo pero sí que se debe probar en cada caso específico. Sin embargo, había una dificultad en el trabajo de Euler que generaría confusión ya que no logró distinguir entre una función y su representación. No obstante, Introductio in analysin infinitorum cambiaría la manera en que los matemáticos piensan sobre conceptos familiares. Jahnke escribe [2]:
Hasta Euler las cantidades trigonométricas seno, coseno, tangente, etc. se consideraban como líneas relacionadas con el círculo más que como funciones. [...] Fue Euler quien introdujo el acercamiento funcional.
El concepto de función había llevado a Euler a hacer muchos descubrimientos importantes antes de que escribiera Introductio in analysin infinitorum. Por ejemplo, había llegado a definir la función gamma y a resolver el problema que había derrotado a los matemáticos durante mucho tiempo: la suma de la serie: 1/1 2 + 1/2 2 + 1/3 2 + 1/4 2 + ...
Demostró que la suma da π2/6 y publicó el resultado en 1740.

Regresemos a los contenidos de Introductio in analysin infinitorum. Allí Euler presenta las funciones continuas, discontinuas y mixtas pero ya que solo los primeros dos de estos conceptos tienen significados modernos distintos, llamaremos las versiones de Euler E-continuas y E-discontinuas para evitar confusiones. Una función E-continua era aquella que se expresaba mediante una única expresión analítica, una función mixta se expresaba en términos de dos o más expresiones analíticas y una función E-discontinua incluía funciones mixtas pero era un concepto más general. Euler no indicó claramente qué quería decir por una función E-discontinua aunque es obvio que las consideraba más generales que las mixtas. Más adelante las definió como aquellas funciones que tenían curvas dibujadas arbitrariamente como sus gráficas (de modo más bien confuso, son esencialmente lo que llamamos hoy funciones continuas).

En 1746 d'Alembert publicó una solución al problema de una cuerda tensa que vibra. La solución, por supuesto, depende de la forma inicial de la cuerda y d'Alembert insistió en su solución en que la función que describe las velocidades iniciales de cada punto de la cuerda tenía que ser E-continua, es decir, expresada mediante una sola expresión analítica. Euler publicó un artículo en 1749 en el que objetaba la restricción impuesta por d'Alembert, afirmando que, por razones físicas, expresiones más generales para la forma inicial tenían que permitirse.

Youschkevitch escribe [32]: d'Alembert no estaba de acuerdo con Euler. Así empezó la larga controversia sobre la naturaleza de las funciones que se permitían como condiciones iniciales y en las integrales de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales continuaba apareciendo en cantidades cada vez mayores en la teoría de la elasticidad, la hidrodinámica, la aerodinámica y la geometría diferencial.

En 1755 Euler publicó otro libro muy importante, Institutiones calculi differentialis. En este libro definió una función de manera totalmente general, dando lo que podemos razonablemente afirmar que era una definición verdaderamente moderna de función:
Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas.
Esta definición se aplica de manera más bien amplia e incluye todas las formas en que una cantidad puede ser determinada por otra. Si, por lo tanto, x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x de cualquier modo, o que son determinadas por ella, son llamadas funciones de x. Esto podría haber sido un gran logro pero, después de dar esta amplia definición, Euler dedicó el libro al desarrollo del cálculo diferencial usando solamente funciones analíticas. El primer problema con la definición de Euler de tipos de funciones fue señalada en 1780 cuando se demostró que una función mixta, dada por distintas fórmulas, a veces podía darse mediante una sola fórmula. El ejemplo más claro de una función así fue dado por Cauchy en 1844 cuando notó que la función
y = x para x≥0, y = -x para para x < 0 podía expresarse mediante la fórmula y = √(x²). Por lo tanto dividir las funciones en E-continuas y mixtas no tenía sentido. Sin embargo, una objeción más seria vino del trabajo de Fourier quien afirmó en 1805 que Euler estaba equivocado. Fourier demostró que algunas funciones discontinuas podían representarse por lo que hoy llamamos una serie de Fourier. La diferencia entre funciones E-continuas y funciones E-discontinuas, por ende, no existía. El trabajo de Fourier no fue aceptado de inmediato y matemáticos prominentes como Lagrange no lo aceptaron en ese momento. Luzin señala en [17] y [18] que la confusión respecto a las funciones se había debido a una falta de comprensión de la diferencia entre 'función' y su representación; por ejemplo como una serie de senos y cosenos. EL trabajo de Fourier llevaría finalmente a clarificar el concepto de función cuando, en 1829, Dirichlet demostró algunos resultados concernientes a la convergencia de las series de Fourier, y aclarando así la diferencia entre una función y su representación.

Otros matemáticos dieron sus propias versiones de la definición de función.

Condorcet parece haber sido el primero en retomar la definición general de Euler de 1755 (ver [31] para más detalles). En 1778 Condorcet envío las primeras dos partes de un trabajo de cinco, Traité du calcul integral a la Academia de París. Nunca fue publicado pero muchos de los principales matemáticos franceses lo vieron. En esta obra, Condorcet distingue tres tipos de funciones: funciones explícitas, implícitas dadas solo por ecuaciones no resueltas y funciones que se definen a partir de consideraciones físicas tales como las que son solución de una ecuación diferencial.

Lacroix, quien había leído el trabajo inconcluso de Condorcet, escribió en 1797:
Cada cantidad cuyo valor depende de una o más cantidades se llama una función de éstas últimas, se conozca o no qué operación es necesario usar para llegar de la última a la primera.
Cauchy, en 1821, dio una definición que hace de la dependencia entre variables el centro del concepto de función. Escribió en Cours d'analyse: Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable.
Nótese que a pesar de la generalidad de la definición de Cauchy, que está diseñada para cubrir tanto las funciones implícitas como las explícitas, aún piensa en una función en términos de una fórmula. De hecho, hace la distinción entre funciones implícitas y explícitas justo después de dar esta definición. También introduce conceptos que indican que todavía peinsa en términos de expresiones analíticas.
Fourier, en Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición: En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola.
Está claro que Fourier ha dado una definición que se aleja deliberadamente de las expresiones analíticas. Sin embargo, y a pesar de ello, cuando empieza a demostrar teoremas sobre expresar una función arbitraria como serie de Fourier, ¡entonces usa el hecho de que su función es continua en el sentido moderno!

Dirichlet, en 1837, aceptó la definición de función de Fourier e inmediatamente de dar esta definición, definió una función continua (usando continuo en el sentido moderno). Dirichlet también dio un ejemplo de una función definida en el intervalo [0,1] que es discontinua en todos sus puntos; ésta es ƒ(x) definida como 0 si x es racional y 1 si x es irracional.

En 1838, Lobachevsky dio una definición de una función general que todavía necesitaba que ésta fuera continua: Una función de x es un número que está dado para cada x y que cambia gradualmente junto con x. El valor de la función puede estar dado mediante una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la dependencia puede existir pero ser desconocida.

Sin duda la función discontinua en todos los puntos de Dirichlet no sería una función bajo la definición de Lobachervsky. Hankel, en 1870, deploró la confusión que aún reinaba sobre el concepto de función: Una persona define función esencialmente en el sentido de Euler, otra requiere que y debe cambiar con x según alguna ley, sin dar una explicación de este obscuro concepto; la tercera la define en la misma manera que Dirichlet, la cuarta sin más no la define. Sin embargo, todo el mundo deduce de su concepto conclusiones que no están contenidas en él.

Alrededor de esa época se construyeron muchas funciones patológicas. Cauchy dio un ejemplo temprano cuando notó que ƒ(x) = exp(-1/x²) para x≠0, ƒ(0) = 0, es una función continua cuyas derivadas en 0 son todas 0. Por lo tanto, tiene una serie de Taylor que converge en todos los puntos pero que solo es igual a la función en 0.

En 1876 Paul du Bois-Reymond hizo la distinción entre una función cuya serie de Fourier diverge en un punto. En esta línea se avanzó en 1885 cuando Weierstrass demostró que cualquier función continua es el límite de una secuencia de polinomios que converge uniformente. Anteriormente, en 1872, Weierstrass había enviado un artículo a la Academia de Ciencias de Berlín dando un ejemplo de una función continua que no es diferenciable en ningún punto. Lützen escribe en [2]: La función de Weierstrass contradecía la idea intuitiva de la mayor parte de sus contemporáneas que apuntaba a que las funciones contúnuas eran differenciables excepto en 'puntos especiales'. Fue una sensación y, de acuerdo con Hankel, incredulidad cuando du Bois-Reymond la publicó en 1875.

Poincaré estaba a disgusto con la dirección que había tomado la definición de función. En 1899 escribió: Durante medio siblo hemos visto una masa de funciones extrañas que parecen forzadas a parecerse lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito. [...]
Antes, cuando se inventaba una nueva función era con una meta práctica. Hoy son inventadas a propósito para mostrar que el razonamiento de nuestros ancestros fallaba y nunca obtendremos más que eso de ellas. Si la lógica fuera la única guía del profesor, tendría que empezar por lo más general, es decir, las funciones más estrambóticas.
¿De dónde han tomado el concepto las definiciones más modernas?
Goursat, en 1923, dio la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día: Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x).
En caso de que ésta no sea lo suficientemente precisa y que involucra conceptos como 'valor' y 'correspondencia', véase la definición dada por Patrick Suples en 1960:

Definición. A es una relación ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ (∃y)(∃z)(x = (y,z)). Se escribe y A z si (y,z) ∈ A.

Definición. ƒ es una función⇔ ƒ es una relación y (∀x) (∀y) (∀z)(x ƒ y y x ƒ z ⇒ y = z).

¿Qué hubiera pensado Poincaré de la definición de Suples?

Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Bibliografía

H N Jahnke (ed.), A history of analysis (American Mathematical Society, Providence, R.I., 2003).

N Luzin, Function I, Amer. Math. Monthly 105 (1) (1998), 59-67.

N Luzin, Function II, Amer. Math. Monthly 105 (3) (1998), 263-270.

O Petersen, Logistics and the theory of functions, Arch. Internat. d'Hist. d. Sciences 24 (94) (1974), 29-50.

R Thiele, Frühe Variationsrechnung und Funktionsbegriff, Mathesis (Verl. Gesch. Nat.wiss. Tech., Berlin, 2000), 128-181.

A P Youschkevitch, The concept of function in the works of Condorcet (Russian), in Studies in the history of mathematics, No. 19 (Russian), Izdat. 'Nauka', Moscow, 1974), 158-166, 301.

A P Youschkevitch, The concept of function up to the middle of the 19th century, Arch. History Exact Sci. 16 (1) (1976/77), 37-85.

3/8/10

Teoría de Matrices, una definición inicial

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Las negrillas, cursivas, sangrías, separación de algunos párrafos son nuestros para efectos de estudio.

Teoría de Matrices
De Wikipedia, la enciclopedia libre

La teoría de matrices es un rama de las matemáticas que se centra en el estudio de matrices.
Inicialmente una rama secundaria del álgebra lineal, ha venido cubriendo los temas relacionados con la teoría de grafos, el álgebra, la combinatoria, y la estadística también.

Las matrices ahora se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
(...)

Historia

El estudio de las matrices es muy antiguo.
Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo.
Leibniz, uno de los dos fundadores del análisis, desarrolló la teoría de los determinantes en 1693 para facilitar la Resolución de las ecuaciones lineales.

Gabriel Cramer tuvo que profundizar esta teoría, presentando el método de Cramer en 1750.

En los años 1800, el método de eliminación de Gauss-Jordan se puso a punto.

Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término « matriz » en 1850.

Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de las matrices.

En 1925, Werner Heisenberg redescubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica.

Descripción, introducción elemental

Una matriz es un cuadro rectangular de números. Una matriz puede identificarse a una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. Así la teoría de las matrices habitualmente se considera como una rama del álgebra lineal. Las matrices cuadradas desempeñan un papel particular, porque el conjunto de matrices de orden n (n entero natural no nulo dado) posee propiedades de « estabilidad » de operaciones.

Los conceptos de matriz estocástica y matriz doblemente estocástica son herramientas importantes para estudiar los procesos estocásticos, en probabilidad y en estadística.

Las matrices definidas positivas aparecen en la búsqueda de máximos y mínimos de funciones a valores reales, y a varias variables.

Es también importante disponer de una teoría de matrices a coeficientes en un anillo. En particular, las matrices a coeficientes en el anillo de polinomios se utilizan en teoría de mandos.

En matemáticas puras, los anillos de matrices pueden proporcionar un rico campo de contraejemplos para conjeturas matemáticas.

Matriz y grafos

En teoría de los grafos, a todo grafo etiquetado corresponde la matriz de adyacencia.

Una matriz de permutación es una matriz que representa una permutación; matriz cuadrada cuyos coeficientes son 0 o 1, con un solo 1 en cada línea y cada columna. Estas matrices se utilizan en combinatorio.

En la teoría de grafos, se llama matriz de un grafo a la matriz que indica en la línea i y la columna j el número de aristas que enlazan el vértice i al vértice j. En un grafo no orientado, la matriz es simétrica. La suma de los elementos de una columna permite determinar el grado de un vértice. La matriz Mn indica en la línea i y la columna j el número de caminos a n aristas que adjuntan el vértice i al vértice j.

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Biografía de J. J. Sylvester

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Las negrillas son nuestras para efectos de estudio.

Tomado de:


Sylvester, James Joseph (1814 - 1897).

Matemático inglés. Su estrecha relación con Cayley cristalizó en la creación de la teoría de invariantes algebraicos y de las matrices.

Hostigado por su condición de judío, marchó en 1876 como catedrático a la prestigiosa universidad de John Hopleins de Baltimore (Estados Unidos).
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26/4/10

Economía Matemática

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Las negrillas, sangrías y separación de algunos párrafos son nuestros para efectos de estudio.

Tomado de:

http://mzuluaga.wordpress.com/2006/12/24/economia-matematica/

ECONOMIA MATEMATICA

Por Mario Zuluaga

El uso de la matemática en los análisis económicos data del siglo XIX, Leon Walras (1834-1910), Agustin Cournot, (1801-1877) y William Jevons (1835-1882) fueron de los primeros economistas que hicieron uso sistemático de aquéllas en el estudio de fenómenos económicos.

Ya en ese entonces, aquellos economistas encontraban el uso de la matemática en su novel ciencia como una osadía que daría a su disciplina tintes de rigor científico y respetabilidad.

Veamos lo que decía W.S. Jevons en su obra Teoría de la Economía Política, [1]:

"Muchos objetarán, sin duda, que las nociones de que tratamos en esta ciencia no son susceptibles de medición alguna.

No podemos pesar, ni aforar, ni poner en tubo de ensayo los sentimientos; no existe una unidad de trabajo, sufrimiento o placer.

De esta manera, podría parecer como si una teoría matemática de la economía tuviera que estar necesariamente privada para siempre de datos numéricos.

A esto respondo, en primer lugar, que no hay nada menos indigno de confianza en la ciencia que un espíritu sin curiosidad ni esperanza. En materias de esta índole, aquellos que desesperan son, casi invariablemente, quienes nunca han intentado tener éxito. Podría mostrarse abatido quien hubiera pasado su vida en una tarea difícil, y sin un destello de esperanza; pero la opinión popular contraria a la extensión de la teoría matemática tiende a desalentar de hecho cualquier intento de emprender tareas que, aunque difíciles, un día u otro deben ser realizadas."

Hoy en día casi todos los economistas, en casi todas las universidades del mundo, se sienten muy cómodos y seguros de las conclusiones que sacan de un análisis matemático aplicado a su disciplina. No obstante, existen corrientes importantes de pensamiento económico que consideran la inutilidad de la matemática en la economía, yendo aún más lejos, cuando afirman que la matemática en los análisis económicos conduce a errores insalvables.

Quizás, es la escuela austríaca de economía, los seguidores de Ludwig Von Mises y Friedrich A Von Hayek, los más contundentes contradictores de la economía matemática.

Lawrence Klein, Premio Nobel de Economía de 1980, afirmaba que las contribuciones no matemáticas a la economía son vagas, burdas y torpes.

Esta desproporcionada afirmación nos muestra la animosidad de la discusión entorno al uso de la matemática en la economía.

También, Gérard Debreu, (1921-2004), premio Nobel de Economía de 1983, uno de los más importantes representantes de la economía matemática moderna, afirmaba que el carácter inflexible de la matemática lo llevaba a encontrar supuestos cada vez más débiles y conclusiones cada vez más fuertes que lo condujeran a explicaciones económicas sencillas.

Sin duda alguna los análisis estadísticos de datos son de gran utilidad para los economistas. Conocer el comportamiento de los precios del petróleo, o el café, o cualquier otro bien, en los últimos 50 años ha de ser de una importancia inmensa para sugerir tendencias y variaciones.

Pero una cosa es la estadística y otra muy distinta el análisis matemático.

Con estadísticas podemos descifrar lo que ha acontecido, no lo que acontecerá. Con el análisis matemático pretendemos entender lo que vendrá.

Los economistas quisieran que su ciencia tuviese los rasgos característicos de la física, es decir, desean disponer de teorías que les permitan predecir futuros acontecimientos económicos. Y para ello optan por el uso intensivo de la matemática.

La matemática es quizás la herramienta más rigurosa, seria y difícil de las que dispone la razón humana.

No existe en la historia del pensamiento humano un relato de interacción de conceptos y procedimientos coherentemente articulados, línea a línea, que iguale a una composición matemática.

Un teorema de la matemática no admite fisuras lógicas ni interpretaciones contradictorias.

Sin embargo no sobra advertir que su uso descuidado, o su incomprensión, es fuente inagotable de disparates bellamente presentados.

La enorme mayoría de los pensadores sociales olvidan que la matemática no afirma nada ni se refiere a cosa alguna. Bertrand Russell decía que las Matemáticas pueden ser definidas como aquel tema en el cual ni sabemos nunca lo que decimos ni si lo que decimos es verdadero. Esta frase, que parece peyorativa, encierra un conocimiento profundo de la actividad matemática. La matemática establece relaciones entre objetos y conceptos abstractos sin preguntarse por su valor de verdad absoluto. Cuando en matemáticas decimos que si es verdadera la proposición P entonces también lo es la proposición Q, no estamos diciendo que las proposiciones P y Q son siempre verdaderas, simplemente estamos estableciendo una relación de causalidad entre ellas. Es por ello que todos los teoremas de la matemática empiezan con la partícula condicional si.

En otras palabras, la matemática no va más allá de los principios elementales de la lógica formal (el sentido común, tan escaso entre los ingenieros sociales) Pero lo más peligroso del pensamiento de las ciencias sociales lo advertimos cuando la simbología de la matemática es trasplantada a aquéllas.

Por ejemplo: cuando en el lenguaje coloquial decimos que la dicha (d), concepto benthamiano harto vago, depende o está en función, de la confianza (c), algunos economistas no dudan en escribir que d = F(c), poniendo su concepto en términos de una ecuación matemática. De allí en adelante todo es confusión y disparates. Van más lejos: como la dicha y la desdicha son emociones humanas que se intercalan, no dudan en afirmar que la función F, que no sabemos cómo opera, habrá de ser una aplicación periódica. Algunos, más osados y sin ningún empacho, dirán que su período debe ser 2π, o algo por el estilo. Otros, aún más animados con la matemática, dirán que la desconocida función F ha de ser sen(x) o cos(x), por ejemplo. Una vez construído el monstruo y puesto a circular en el mundo del análisis matemático debemos estar dispuestos a escuchar cualquier cantidad de conclusiones delirantes, mismas que se traducen en recomendaciones, las más de las veces acatadas por gobernantes despistados.

Otro ejemplo importante lo encontramos en las funciones de utilidad.

La utilidad es otro concepto de vaga definición pues aquello que es útil para una persona no lo es para otra; no existe una definición universal de lo que debemos entender por utilidad.

No obstante los economistas escriben u = F(x), en donde x determina la cantidad del bien que causa la utilidad. La función F es desconocida y tampoco tenemos una idea coherente de lo que significa una unidad de utilidad o satisfacción.

Pero ello no es lo más grave, lo más perturbador lo encontramos cuando las parejas (u,F(x)) son representadas en un gráfico continuo en un plano cartesiano, sabiendo que la variable x fluctúa en el conjunto de los números naturales {1,2,3,…} y no en el conjunto de los números reales.

Y van más allá: afirman que la desconocida función F es derivable y que su derivada F´(x), la utilidad marginal, es decreciente. O aún más estruendosamente, que su segunda derivada F´´(x) es negativa.

Tratar de hacer cálculo diferencial e integral en un universo de aplicaciones definidas sobre el conjunto de los números naturales {1,2,3…} es un dislate de mayúsculas proporciones.

Desde el punto de vista de la teoría de la medida, dichas funciones son todas equivalentes a la aplicación nula.

También, creer que conocemos los valores o las “utilidades” de las aplicaciones en los intervalos abiertos (1,2), (2,3),…ctc es auto engañarse, y suponer, además, que dichas aplicaciones son derivables o continuas en aquellos intervalos es pecar contra el sentido común y la economía.

Por ejemplo: supongamos que podemos asignarle unidades de utilidad al bien automóvil, digamos. Sé entonces – lo estoy suponiendo – que conozco la utilidad de 1 automóvil, dos automóviles, tres…ctc. ¿Es razonable pensar que conozco la utilidad de 21/18 de automóvil, o peor aún de π automóviles? (π =3.1416….)

Otro abuso de la simbología matemática en los análisis microeconómicos lo vemos en las curvas de oferta y demanda. Con datos estadísticos se puede establecer cómo se comportó la demanda y la oferta de un determinado bien, más no es posible decidir cómo lo será en el futuro pues el comportamiento humano en materia de elección de preferencias es impredecible. Además de lo anterior, asignarle a las funciones de oferta y demanda propiedades de continuidad y derivabilidad no deja de ser un error intelectual. Una de las grandes preocupaciones de la teoría macroeconómica son los estados de equilibrio; muchos de ellos vienen representados como los puntos estacionarios de sistemas dinámicos; estos puntos representan estados “muertos” en el plano de fases y muy pocas veces representan estados de equilibrio. Es frecuente que dichos puntos sean puntos de ensilladura o repulsores que, más bien, representan puntos de desequilibrio incapaces de describir un escenario económico real.

Son muchos más los ejemplos que podemos poner en los cuales el uso de la simbología matemática se presta para análisis equivocados. Finalmente, pongamos el caso de las funciones de preferencias. La idea es asignarle a cada bien un número real que indique el grado de preferencia del consumidor. Lo esencial aquí es ordenar las preferencias en términos del orden que conocemos para el conjunto de los números reales. La característica de esta relación de orden estriba en la ley de tricotomía y su transitividad. Me explico: dados dos números x e y, uno, y sólo uno, de los tres casos siguientes habrá de cumplirse, x = y, x > y, x <> w y w > z entonces x > z. Pretender que las preferencias del consumidor se comportan con estas reglas es creer que la raza humana se compone de autómatas. Entre dos bienes, un consumidor puede no preferir ninguno, por ejemplo. Entre una galleta y un helado un consumidor puede preferir la galleta, entre el helado y una fruta puede preferir el helado, pero entre la fruta y la galleta puede preferir la fruta. No hay tal transitividad.

Como decía Ludwig Von Mises: La acción humana no es matematizable. Representar las relaciones de la economía a punta de símbolos matemáticos equivale a interpretar la novena sinfonía de Beethoven con el sólo uso de un tambor.

Las tonterías a las que se puede llegar con la aplicación de la matemática en la economía no tienen límites y linda con lo cómico.

El Doctor Antonio Pulido San Román, econometrista de la Universidad Autónoma de Madrid, nos relata en [2] que John Eatwell, economista de la Universidad de Cambridge, afirmaba que si el mundo no es como el modelo, pues peor para el mundo.

Y a fe que ha sido peor para el mundo. También nos relata don Antonio que en una ocasión en la que le reclamó a un economista, recién doctorado de una prestigiosa universidad norteamericana, que el modelo econométrico que proponía era incongruente con la realidad económica española, esto fue lo que recibió por respuesta: …que el problema no estaba en el modelo, que era correcto, sino en que la economía española no funcionaba como debía. ¿Desde cuando viene todo este tumulto de disparates? Pues desde Jevons, quien reclamaba la presencia de los matemáticos en su disciplina.

Los matemáticos, que no les importa la economía pues es una ciencia social alejada de sus preocupaciones profesionales, se han tomado las aulas de las academias de economía, no para aclarar sino para influir.

Los economistas le han abierto sus puertas pues han encontrado en las matemáticas fetiches incuestionables. La bondad de la matemática la encontramos, con derroche de abundancia, en otras disciplinas como la física y las ingenierías, no en las ciencias sociales.

Referencias

[1] William Stanley Jevons Teoría de la Economía Política, SIGMA, El mundo de las Matemáticas, Antología de James R. Newman, vol 3, Grijalbo, 1968.

[2] Antonio Pulido San Román. Posibilidades y limitaciones de la Matemática en la Economía, Cuadernos del fondo de investigación Richard Stone, No 1, Junio de 2002.

[3] Gene Callahan, Logical Economics vs. Mathematical Economics, http://www.mises.org/story/616[4] Gary Galles, The Uses and Abuses of Math, http://blog.mises.org/archives/004665.asp

[5] Robert Wutscher, Foundations in economic methodologies: The use of mathematics by mainstream economics and its methodology by Austrian economics, http://www.mises.org/journals/scholar/Wutscher.pdf
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26/3/10

La matemática en Grecia

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Una exposición sobre La Matemática en Grecia Antigua. Un importante elemento es la separación de los períodos históricos de la matemática como ciencia desde la antiguedad hasta nuestros días.

Puede verse en:

Seres matemáticos

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Las negrillas, sangrías y separación de algunos párrafos son nuestros para efectos d estudio.

Tomado de:

http://www.filosofia.org/cla/ari/azc10349.htm

Obras de Aristóteles Metafísica
Patricio de Azcárate
Metafísica · libro décimotercio

I
¿Hay o no seres matemáticos?

Hemos dicho en nuestro tratado de Física cuál es la naturaleza de la sustancia de las cosas sensibles, primero cuando nos ocupamos de la materia, y después al tratar de la sustancia en acto{497}. He aquí cuál es ahora el objeto de nuestras indagaciones:

¿Hay o no fuera de las sustancias sensibles una sustancia inmóvil y eterna? Y si esta sustancia existe, ¿cuál es su naturaleza?

Comencemos por examinar los sistemas de otros filósofos para no incurrir en sus errores, caso que algunas de sus opiniones no sean fundadas. Y si por fortuna encontrásemos puntos de doctrina que conviniesen con los nuestros, guardémonos de sentir por ello pena alguna. Es para nosotros un motivo de respeto el que sobre ciertas cosas tengan concepciones superiores a las nuestras, y que no sean en otros puntos inferiores a nosotros.

Hay dos sistemas con relación al asunto que nos ocupa.

Se [350] admite como sustancias particulares los seres matemáticos, como los números, las líneas, los objetos del mismo género, y con ellos las ideas. Hay unos que de estos seres hacen dos géneros diferentes; de una parte las ideas, y de otra los números matemáticos; otros consideran estos dos géneros una sola y misma naturaleza; y otros, finalmente, pretenden que las sustancias matemáticas son las únicas sustancias.

Comencemos por la consideración de las sustancias matemáticas, y examinémoslas independientemente de toda otra naturaleza. No preguntemos, por ejemplo, si son o no ideas, si son o no principios y sustancias de los seres; preguntemos, como si sólo tuviéramos que ocuparnos de los seres matemáticos, si estas sustancias existen o no, y si existen, cuál es el modo de su existencia.

Después hablaremos separadamente de las ideas sin grandes desenvolvimientos, y en la medida que conviene al objeto que nos proponemos, porque casi todas las cuestiones que se refieren a este asunto han sido rebatidas ya en nuestros tratados exotéricos{498}. En el curso de nuestro examen habremos de discutir por extenso esta cuestión. Las sustancias y los principios de los seres, ¿son números e ideas? porque ésta es una tercera cuestión que viene después de las ideas.

Los seres matemáticos, si existen, están necesariamente en los objetos sensibles, como suponen algunos, o bien están separados de ellos (hay quienes admiten esta opinión). Si no están, ni en los objetos sensibles, ni fuera de ellos, o no existen, o existen de otra manera.

Nuestra duda recaerá por lo tanto aquí, no sobre el ser mismo, sino sobre la manera de ser.

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{497} Aristóteles trata de la sustancia material en el primer libro de la Física, y en el segundo de la sustancia en acto, o de la esencia. Véanse también en la Metafísica los libros VII y siguientes.

{498} Es sabido que estos tratados no existen.

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Proyecto Filosofía en español
© 2005 www.filosofia.org Patricio de Azcárate · Obras de Aristóteles
Madrid 1875, tomo 10, páginas 349-350

28/1/10

Matemática Aplicada, una definición

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Las negrillas, paréntesis, citas en bloque y separación de algunos párrafos son nuestros para efectos de estudio.

Matemática aplicada
De Wikipedia, la enciclopedia libre

El término matemáticas aplicadas se refiere a todos aquellos métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o solución de problemas pertenecientes al área de las ciencias aplicadas o (y) sociales.

Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología, medicina, ciencias sociales, administración, ingeniería, economía, finanzas, ecología entre otras.

La definición no es absolutamente estricta, ya que, en principio, cualquier parte de las matemáticas podría ser utilizada en problemas reales; sin embargo

una posible diferencia es que en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas "hacia afuera", es decir su aplicación o transferencia hacia el resto de las áreas. Y en menor grado "hacia dentro" o sea, hacia el desarrollo de las matemáticas mismas. Este último sería el caso de las matemáticas puras o matemáticas elementales.

Las matemáticas aplicadas son usadas frecuentemente en distintas áreas tecnológicas para modelado, simulación y optimización de procesos o fenómenos, como el túnel de viento o el diseño de experimentos.

Para procesos complejos, costosos, riesgosos, altamente dinámicos o demorosos (que pueden durar mucho tiempo), el modelado matemático y la simulación por computadora son muy utilizados como alternativa preferente, y en algunos casos, se transforman en la única opción viable.

Áreas de las matemáticas con frecuentes aplicaciones:

Cálculo.
Álgebra lineal.
Teoría de probabilidad.
Estadística matemática.
Investigación de operaciones.
Ecuaciones diferenciales.
Análisis complejo / Variable compleja.
Análisis de Fourier.
Sistemas dinámicos.
Teoría de control.
Optimización.
Matemáticas discretas.
Análisis funcional.

Se incluyen como parte central las matemáticas aplicadas el análisis numérico y la computación científica.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_aplicada"
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29/9/09

Definición de Matemática

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Las negrillas y separación de algunos párrafos son nuestros para efectos de estudio.

Tomado de:

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

Matemáticas
De Wikipedia, la enciclopedia libre

Las Matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. τὰ μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos).[2]

Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios.

Los matemáticos buscan patrones,[3] [4] formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin. [5]

Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana.

El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".[6]

Por otro lado, Albert Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad".[7]

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos.

Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico

(...).

Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.

Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica).

Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas.

Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.[8]

(...)

Etimología

La palabra "matemática" (del griego μαθηματικά, «lo que se aprende») viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción».

El significado se contrapone a μουική (musiké) «lo que se puede entender sin haber sido instruído», que refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética).[9]

Aunque el término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa "el arte matemática".

La forma plural matemáticas viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas".

(...)

Historia

La evolución de la matemática puede ser considerada como el resultado de un incremento de la capacidad de abstracción del hombre o como una expansión de la materia estudiada. Los primeros conceptos abstractos utilizados por el hombre, aunque también por muchos animales[10] , fueron probablemente los números. Esta noción nació de la necesidad de contar los objetos que nos rodeaban.

Desde el comienzo de la historia, las principales disciplinas matemáticas surgieron de la necesidad del hombre de hacer cálculos con el fin de controlar los impuestos y el comercio, comprender las relaciones entre los números, la medición de terrenos y la predicción de los eventos astronómicos.

Estas necesidades están estrechamente relacionadas con las principales propiedades que estudian las matemáticas(:) la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.

Desde entonces, las matemáticas han tenido un profuso desarrollo y se ha producido una fructífera interacción entre las matemáticas y la ciencia, en beneficio de ambas. Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo de la historia y se continúan produciendo en la actualidad.

Además de saber contar los objetos físicos, los hombres prehistóricos también sabían cómo contar cantidades abstractas como el tiempo (días, estaciones, años, etc.) Asimismo empezaron a dominar la aritmética elemental (suma, resta, multiplicación y división).

Los siguientes avances requirieron la escritura o algún otro sistema para registrar los números (...)

Los sistemas de numeración han sido muchos y diversos.

Los primeros escritos conocidos que contienen números fueron creados por los egicios en el Imperio Medio, entre ellos se encuentra el Papiro de Ahmes. La Cultura del valle del Indo desarrolló el moderno sistema decimal, junto con el concepto de cero.

Los antiguos babilonios utilizaban el sistema sexagesimal, escala matemática que tiene por base el número sesenta.

De este sistema la humanidad heredó la división actual del tiempo: el día en veinticuatro horas - o en dos períodos de doce horas cada uno, la hora en sesenta minutos y el minuto en sesenta segundos.

Los árabes proporcionaron a la cultura europea su sistema de numeración, que reemplazó a la numeración romana.

Este sistema prácticamente no se conocía en Europa antes de que el matemático Leonardo Fibonacci lo introdujera en 1202 en su obra Liber abbaci (Libro del ábaco).

En un principio los europeos tardaron en reaccionar, pero hacia finales de la Edad Media habían aceptado el nuevo sistema numérico, cuya sencillez estimuló y alentó el progreso de la ciencia.

Euclides (siglo IV a. C.) fue el matemático más relevante de la Antigüedad. Es muy conocido por una compilación de sus conocimientos de geometría, voz griega que significa medida de la tierra.

Tales de Mileto (siglo VI a. C.), conocido principalmente por su obra matemática y por la creencia de que el agua era la esencia de toda materia, estudió con espíritu crítico la estructura cósmica, lo que, según explica The New Encyclopædia Britannica, tuvo un efecto decisivo en el progreso del pensamiento científico.

Influencia en la astronomía moderna

El astrónomo Tycho Brahe anotó minuciosamente durante largo tiempo observaciones planetarias. Cuando leyó El misterio cosmográfico, quedó impresionado con la percepción matemática y astronómica de Kepler y le invitó a trabajar con él en Benatky, localidad cercana a Praga.

Al verse obligado a tener que abandonar Graz debido a la intolerancia religiosa, Kepler aceptó la invitación.

Al fallecer Brahe, Kepler le sucedió como matemático imperial de Rodolfo II y analizó las medidas sobre la posición de los planetas. Las medidas del movimiento de Marte, en particular de su movimiento retrógrado, fueron esenciales para que pudiera formular las tres leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. Posteriormente, estas leyes sirvieron de base a la ley de gravitación universal de Newton.

Crisis históricas

La matemática ha pasado por tres crisis históricas importantes:[11]

(1)El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos, la existencia de los números irracionales que de alguna forma debilitó la filosofía de los pitagóricos.

(2)La aparición del cálculo en el siglo XVII, con el temor de que fuera ilegítimo manejar infinitesimales.

(3)El hallazgo de las antinomias, como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX, que atacaban los mismos cimientos de la materia.

Grandes Matemáticos de la historia

Pitágoras: (582-500 a.C.). Fundador de la escuela Pitagórica, cuyos principios se regian por el amor a la sabiduria, a las matemáticas y música.

Inventor del Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto).

Además del teorea anteriormente mencionado, también invento una tabla de multiplicar.


Tales de Mileto: (hacia el 600 a.C.). Matemático- Geomatra griego. Considerado uno de los siete sabios de Grecia.

Inventor del Teorema de Tales, que establece, que si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos 2 triángulos semejantes.

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales, es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo.

Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría.

Euclides: (aproximadamente 365-300 a.C.). Sabio griego, cuya obra "Elementos de Geometría", esta considerada como el texto matemático más importante de la historia.

Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:

- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.

- En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.

Arquímedes: (287-212 a.C.). Fue el matemático más importante de la Edad Antigua. También conocido por una de sus frases: "Eureka, eureka, lo encontre".

Su mayor logro, fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe.

Su principio más conocido fue el Principio de Arquímedes, que consiste en que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.

Fibonacci: (1170-1240). Matemático italiano que realizo importantisimas aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números.

Inventor de la Sucesión de Fibonacci, que consiste es una sucesión infinita de números naturales.

René Descartes: (1596-1650). Matemático francés, que escribio una obra sobre la teoría de las ecuaciones, en la cual se incluía, la regla de los signos, para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Invento una de las ramas de las matemáticas, la geometría analítica.

Isaac Newton: (1643-1727). Matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica. Abordó el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones.

Galileo Galilei: (1564-1642). Matemático italiano, cuyo principal logro fue, el crear un nexo de unión entre las matemáticas y la mecánica. Fue el descubridor de la ley de la isocronía de los péndulos. Se inspira en Pitágoras, Platón y Arquímedes y fue contrario a Aristoteles.

Blaise Pascal: (1623-1662). Matemático francés que formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, que se denomino como Teorema de Pascal y que el mismo llamo Teoría matemática de la probabilidad.

Leonhard Euler: (1707-1783). Matemático suizo que realizó importantes descubrimientos en el campo del cálculo y la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática.

Paolo Ruffini: (1765-1822). Matemático italiano que estableció las bases de la teoría de las transformaciones de ecuaciones, descubrió y formuló la regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones,y su más importante logro, invento lo que se conoce como Regla de Ruffini, que permite hallar los coeficientes del resultado de la división de un polinomio por el binomio (x - r).

Carl Friedrich Gauss: (1777-1855). Matemático alemán al que se le conoce como "el principe de las matemáticas". Ha contribuido notablemente en varias áreas de las matemáticas, en las que destacan la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial.

Fue el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Álgebra. Invento lo que se conoce como Método de Gauss, que lo utilizó para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

La inspiración, las matemáticas puras y aplicadas y la estética

Sir Isaac Newton (1643-1727), comparte con Leibniz la autoría del desarrollo del cálculo integral y diferencialLas matemáticas surgen cuando hay problemas difíciles en los que intervienen la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio de los objetos.

Al principio, las matemáticas se encontraban en el comercio, en la medición de los terrenos y, posteriormente, en la astronomía.

Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas.

Por ejemplo, el físico Richard Feynman inventó la integral de caminos de la mecánica cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física.

Hoy la teoría de las cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirando a las más modernas matemáticas.[12]

Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemáticas inspiradas en un área concreta resultan útiles en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemáticos generales aceptados.

El notable hecho de que incluso la matemática más pura habitualmente tiene aplicaciones prácticas es lo que Eugene Wigner ha definido como la irrazonable eficacia de las matemáticas en las Ciencias Naturales.[13]

Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a la especialización de las matemáticas.

Hay una importante distinción entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas.

La mayoría de los matemáticos que se dedican a la investigación se centran únicamente en una de estas áreas y, a veces, la elección se realiza cuando comienzan su licenciatura. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras areas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser la estadística, la investigación de operaciones o la informática.

Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que prevalece un aspecto estético que define a la mayoría de las matemáticas.

Muchos matemáticos hablan de la elegancia de la matemática, su intrínseca estética y su belleza interna.

En general, uno de sus aspectos más valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple y contundente demostración, como la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos, y en un elegante análisis numérico que acelera el cálculo, así como en la transformada rápida de Fourier.

G. H. Hardy en A Mathematician's Apology (Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras.[14] Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excéntrico matemático Paul Erdős se refiere a este hecho como la búsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas.[15] [16] La popularidad de la matemática recreativa es otra señal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemáticas.

Notación, lenguaje y rigor

Notación matemática

La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII.[17]

Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limita el avance matemático.

En el siglo XVIII, Euler, fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean mucho más fácil para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada.

La notación reduce las matemáticas al máximo, hace que algunos símbolos contengan una gran cantidad de información.

Al igual que la notación musical, la notación matemática moderna y tiene una sintaxis estricta y codifica la información que sería difícil de escribir de otra manera.

El lenguaje matemático también puede ser difícil para los principiantes. Palabras tales como o y sólo tiene significados más precisos que en lenguaje cotidiano.

Además, palabras como abierto y cuerpo tienen significados matemático muy concretos.

La jerga matemática incluye términos técnicos como homeomorfismo o integrabilidad.

La razón que explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el lenguaje matemático requiere más precisión que el lenguaje cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión en el lenguaje y en la lógica como el "rigor".

El rigor es una condición indispensable que debe tener una demostración matemática.

Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremas erroneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia.[18]

El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de Isaac Newton los métodos empleados eran menos rigurosas. Los problemas inherentes de las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un análisis cuidadoso y a las demostraciones oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador.[19]

Un axioma se interpreta tradicionalmente como una "verdad evidente", pero esta concepción es problemática. En el ámbito formal, un axioma no es más que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo en el contexto de todas las fórmulas derivadas de un sistema axiomático.

La matemática como ciencia

Carl Friedrich Gauss, (...) se refería a la matemática como "la reina de las ciencias"..[20] Tanto en el latín original Scientiarum Regina, así como en alemán Königin der Wissenschaften, la palabra ciencia debe ser interpretada como (campo de) conocimiento.

Si se considera que la ciencia es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas, o por lo menos matemáticas puras, no son una ciencia.

Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente falseables, y, por tanto, no es una ciencia según la definición de Karl Popper.[21]

No obstante, en la década de 1930 una importante labor en la lógica matemática demuestra que las matemáticas no puede reducirse a la lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de física y biología, hipotético-deductivas. Por lo tanto, las matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las ciencias naturales cuya hipótesis son conjeturas, así ha sido hasta ahora".[22]

Otros pensadores, en particular Imre Lakatos, han solicitado una versión de Falsacionismo para las propias matemáticas.

Una visión alterantiva es que determinados campos científicos (como la física teórica) son matemáticas con axiomas que pretenden corresponder a la realidad.

De hecho, el físico teórico, J. M. Ziman, propone que la ciencia es conocimiento público y, por tanto, incluye a las matemáticas.[23]

En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho en común con muchos campos de las ciencias físicas, especialmente la exploración de las consecuencias lógicas de las hipótesis.

La intuición y la experimentación también desempeñan un papel importante en la formulación de conjeturas en las matemáticas y las otras ciencias.

Las matemáticas experimentales siguen ganando representación dentro de las matemáticas.

El cálculo y simulación están jugando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción de que las matemáticas se sirven del método científico.

En 2002 Stephen Wolfram sostiene, en su libro Un nuevo tipo de ciencia, que la matemática computacional merece ser explorada empíricamente como un campo científico.

Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas.

Muchos matemáticos consideran que llamar a su campo ciencia es minimizar la importancia de su perfil estético, además supone negar su historia dentro de las siete artes liberales.

Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemáticas.

Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con el anterior, es si la matemática fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de incumbencia de la filosofía de las matemáticas.

Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia.

El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la Medalla Fields, [24] [25] fue instaurado en 1936 y se concede cada 4 años.

A menudo se le considera el equivalente del Premio Nobel para la ciencia.

Otros premios son el Premio Wolf en matemática, creado en 1978, que reconoce el logro en vida de los matemáticos, y el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003.

Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o la solución de un problema pendiente en un campo determinado.

Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada los "Problemas de Hilbert", fue recopilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert.

Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos.

Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada "Problemas del milenio", se publicó en 2000.

La solución de cada uno de los problemas será recompensada con 1 millón de dolares.

Curiosamente, tan solo uno (la Hipótesis de Riemann) aparece en ambas listas.

Ramas

Las numerosas ramas de la matemática están muy interrelacionadas. En una subdivisión amplia de las matemáticas, se distinguen cuatro objetos de estudio básicos: la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.

Los diferentes tipos de cantidades (números) han jugado un papel obvio e importante en todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura, la ciencia y la tecnología.

El estudio de la estructura comienza al considerar las diferentes propiedades de los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. Después, la organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g. estructuras categóricas). La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.

El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría. En su faceta avanzada el surgimiento de la topología da la necesaria y correcta manera de pensar acerca de las nociones de cercanía y continuidad de nuestras concepciones espaciales.

Derivada. La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y del cálculo.

Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, se estudian las ecuaciones diferenciales y de sus soluciones.

Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales.

Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática.

Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denomina Análisis. Es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo.

El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.

Un campo importante en matemática aplicada es el de la estadística, que permite la descripción, el análisis de probabilidad y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias.

El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.

A continuación se muestra una lista de las ramas interrelacionadas de las matemáticas:

Fundamentos y métodos

Teoría de conjuntos, lógica matemática, teoría de categorías.

Investigación operativa

Teoría de grafos, teoría de juegos, programación entera, programación lineal,

Simulación, optimización, método simplex, programación dinámica.

Números

Números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales, número reales, números complejos, cuaterniones, octoniones, sedeniones, números hiperreales, números infinitos, dígito, sistema de numeración, número p-ádico.

Análisis, continuidad y cambio

Cálculo, cálculo vectorial, análisis, ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y teoría del caos, funciones, logaritmo, sucesiones, series, análisis real, Análisis complejo, análisis funcional, algebra de operadores.

Estructuras

Algebra abstracta, teoría de números, álgebra conmutativa, geometría algebraica, teoría de grupos, monoides, análisis, topología, álgebra lineal, teoría de grafos, teoría de categorías.

Espacios

Topología, geometría, teoría de haces, geometría algebraica - Geometría diferencial - Topología diferencial - Topología algebraica - Álgebra lineal - Cuaterniones y rotación en el espacio

Matemática discreta

Combinatoria, Teoría de conjuntos - Probabilidad - Estadística - Teoría de la computación - Criptografía - Teoría de grafos - Teoría de juegos.

Matemática aplicada

Estadística, matemática discreta, física matemática, matemática financiera, teoría de juegos, optimización, análisis numérico, Lógica difusa.

Conceptos erróneos

Lo que cuenta como conocimiento en matemática no se determina mediante experimentación, sino mediante demostraciones.

No es la matemática, por lo tanto, una rama de la física (la ciencia con la que históricamente se encuentra más emparentada), puesto que la física es una ciencia empírica.

Por otro lado, la experimentación desempeña un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas.

La matemática no es un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución, así como una infinidad esperando su formulación.

Matemática no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes para los contables, los avances en matemática abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.

Matemática no significa numerología. La numerología es una pseudociencia que utiliza la aritmética modular para pasar de nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intuición.

El lenguaje formal no es una simple extensión de los lenguajes naturales humanos que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas.

Recientemente, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español y el francés) y los lenguajes formales (como el matemático o los lenguajes de programación) son estructuras de naturaleza básicamente diferente.
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23/9/09

Lógica Matemática, una definición

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Las negrillas, separación y supresión de algunos párrafos y numeración entre paréntesis son nuestros para efectos de estudio.

Tomado de:

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica

La lógica matemática es un subcampo de la lógica y las matemáticas. Consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas.

La lógica matemática guarda estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.

La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos:

teoría de modelos,

teoría de la demostración,

teoría de conjuntos y

teoría de la recursión.


La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.

La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica.

El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.

La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica".

Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

Historia

Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.

Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.

Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas.

La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.

El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos.

Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos).

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.

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Áreas

La Mathematics Subject Classification divide la lógica matemática en las siguientes áreas:

(1) Filosófica y crítica

(2) Lógica general (que incluye campos como la lógica modal y la lógica borrosa)

(3) Teoría de modelos

(4) Teoría de la computabilidad

(5) Teoría de conjuntos

(6) Teoría de la demostración y matemática constructiva

(7) Lógica algebraica

(8) Modelos no-estándar


En algunos casos hay conjunción de intereses con la Informática teórica, pues muchos pioneros de la informática, como Alan Turing, fueron matemáticos y lógicos.

Así, el estudio de la semántica de los lenguajes de programación procede de la teoría de modelos, así como también la verificación de programas, y el caso particular de la técnica del model checking.

También el isomorfismo de Churry-Howard entre pruebas y programas se corresponde con la teoría de pruebas, donde la lógica intuicionista y la lógica lineal son especialmente significativas. Algunos sistemas lógicos como el cálculo lambda, y la lógica combinatoria entre otras han devenido, incluso, auténticos lenguajes de programación, creando nuevos paradigmas como son la programación funcional y la programación lógica.
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